Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками

Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками
Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками
Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками

Глава II. Уравнения и неравенства с одной переменной

 

§ 6. Неравенства с одной переменной

 

Уроки 33-34. Применение метода интервалов для решения неравенств

 

Целы рассмотреть использование метода интервалов для решения неравенств других типов.

I. Сообщение темы и цели урока

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Методом интервалов решите неравенство.

2. Найдите область определения функции

Вариант 2

1. Методом интервалов решите неравенство.

2. Найдите область определения функции

 

III. Изучение нового материала

Уже рассматривался метод интервалов. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.

Пример 1

Решим неравенство

 

Прежде всего отметим, что если в разложение многочлена на множители входит сомножитель (х - х0)k, то говорят, что х0 - корень многочлена кратности k. Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом, т. к. при четном k многочлен справа и слева от х0 имеет один и тот же знак (т. е. знак многочлена не меняется), а при нечетном k многочлен справа и слева от х0 имеет противоположные знаки (т. е. знак многочлена изменяется).

Вернувшись к данному неравенству, отметим, что многочлен имеет корни: х1 = -5 (кратности 8 - четная кратность), х2 = -2 (кратности 3 - нечетная), х3 = 0 (кратности 1 - нечетная), х4 = 1 (кратности 2 - четная), х5 = 3 (кратности 7 - нечетная). Нанесем эти корни на числовую ось и буквами «Н» и «Ч» отметим четность кратности этих корней.

 

 

Определим знак многочлена, стоящего в левой части неравенства при любом х, не совпадающем с корнями (например, при х = -3 многочлен отрицательный). Рассмотрим теперь знаки многочлена, двигаясь в положительном направлении оси 0х. Так как х = -2 — корень нечетной кратности, то при этом значении х происходит изменение знака многочлена на противоположный и многочлен на промежутке (-2; 0) положительный. При х = 0 (корень нечетной кратности) опять происходит изменение знака многочлена и он на промежутке (0; 1) становится отрицательным. Так как х = 1 - корень четной кратности, то многочлен знака не меняет и на промежутке (1; 3) он по-прежнему отрицательный. Рассуждая подобным образом, нетрудно получить полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси, приведенную на рисунке. После этого легко ответить на вопрос задачи: при каких х знак многочлена неотрицательный. Из рисунка видно, что такими х являются

Разумеется, в тех случаях, когда неравенство не имеет вида, приведенного в примере 1, необходимо, используя те или иные приемы, привести это неравенство к указанному виду.

 

Пример 2

Решим неравенство х3 + 6 > 7х.

Запишем неравенство в виде х3 + 6 - 7х > 0 и разложим многочлен в левой части на множители. Для этого член -7х представим как сумму двух слагаемых: -6х и -х и сгруппируем члены многочлена: х3 - х + (6 - 6х) > 0, или х(х2 - 1) - 6(х - 1) > 0, или х(х - 1)(х + 1) - 6(х - 1) > 0, или (х - 1)(х2 + х - 6) > 0. Разложение х2 + х - 6 на множители проводим стандартным путем, зная его корни (х = -3, х = 2), и окончательно получаем: (х - 1)(х +3)(х - 2) > 0. Все корни этого многочлена первой кратности, и дальнейшее решение не вызывает трудностей. Построив диаграмму знаков многочлена, найдем х ∈ (-3; 1)U(2; +∞).

 

 

Остановимся теперь на решении рациональных неравенств методом интервалов.

Рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Действительно, после преобразований левая часть рационального неравенства может быть представлена в виде отношения многочленов Р(х) и Q(х), т. е.  Умножим обе части такого неравенства на многочлен [Q(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях х (т. к. Q(x) ≠ 0). Тогда знак неравенства не меняется и получаем неравенство Р(х) · Q(x) v 0, эквивалентное данному. То есть исходное неравенство  эквивалентно системе неравенств  которая далее решается методом интервалов.

 

 

Пример 3

Решим неравенство

Отметим прежде всего, что (5х - х2)(х + 2) ≠ 0, или х(5 - х)(х + 2) ≠ 0, т. е. х ≠ -2, х ≠ 0, х ≠ 5 (ОДЗ неравенства). Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому (аналогичному примеру 1). Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение - квадрат знаменателя (5х - х2)2(х + 2)2. При этом знак неравенства не меняется и получаем: (х2 + 1)(х2 - 2х - 3)(5х - х2)(х + 2) ≥ 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, имеем: (х2 + 1)(х - 3)(х + 1)х(5 - х)(х + 2) ≥ 0. Решаем это неравенство методом интервалов, учитывая, что все корни многочлена имеют первую кратность: х ∈ (-∞; -2]U[-1; 0]U[3; 5).

 

 

Теперь учтем ОДЗ исходного неравенства и окончательно найдем: х ∈ (-∞; -2)U[-1; 0)U[3; 5).

В более сложных случаях рациональные неравенства сначала сводятся к неравенствам, аналогичным примеру 3, а затем решаются методом интервалов.

 

Пример 4

Решим неравенство

Чтобы свести пример к аналогичному предыдущему примеру, перенесем все члены неравенства в его левую часть:  Приведя дроби к общему знаменателю, получим:  т. е. неравенство предыдущего типа. Решая его аналогично, найдем: х ∈ (-∞; -8]U(-3; -1)U[1; 7).

 

 

Для диаграммы знаков учтены корни числителя х2 + 7х - 8 (х = -8 и х = 1), первая кратность всех корней и ограничения на х (х ≠ -3, х ≠ -1, х ≠ 1).

 

 

Пример 5

Решить неравенство

ОДЗ неравенства определяется условиями: х - 1 ≠ 0, х - 3 ≠ 0 (т. е. х ≠ 1, х ≠ 3). Почленно разделим дроби в левой части неравенства на знаменатели, сгруппировав слагаемые в числителях дробей:  или  или  или  Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:  Далее решаем это неравенство по обычной схеме и находим: х ∈ (1; 2]U(3; +∞).

 

 

При наличии в рациональных неравенствах знаков модуля их надо раскрыть.

 

Пример 6

Решить неравенство

Используя метод интервалов, в данном неравенстве раскроем знаки модуля. Рассматриваемые промежутки показаны на рисунке.

 

image76

 

а) Если х ∈ (-∞; 0] (интервал I), то данное неравенство имеет вид:  или  или  или  Так как дробь неотрицательная и ее числитель положительный, то знаменатель также должен быть положительным, т. е. х - 2 > 0. Решая это неравенство, получаем: х ∈ (2; +∞). Но это решение в рассматриваемый промежуток х ∈ (-∞; 0] не входит и решением не является (т. е. х ∈ Ø).

б) Если х ∈ (0; 3) (интервал II), то получаем неравенство  или  или  Решая это неравенство, находим х ∈ (2; 3]. Это решение (за исключением точки х = 3) входит в рассматриваемый промежуток, поэтому х ∈ (2; 3) (учтено, что х ≠ 2).

в) Если х ∈ [3; +∞) (интервал III), то имеем неравенство  или  (х ≠ 4), или 1 ≥ 1. Так как получено верное неравенство, то рассматриваемый промежуток (за исключением точки х = 4) является решением неравенства, т. е. х ∈ [3; 4)U(4; +∞).

Объединяя случаи б) и в), получаем окончательный ответ: х ∈ (2; 4)U(4; +∞).

Метод интервалов также эффективен при решении неравенств с параметрами.

 

Пример 7

Решим неравенство

ОДЗ неравенства х ≠ а. Найдем корни числителя х1 = 1 и х2 = -3. Далее удобно использовать метод интервалов. Однако если применять его для координатной прямой, то придется рассматривать пять случаев: а) а < -3, б) а = -3, в) -3 < а < 1, г) а = 1, в) а > 1 и для каждого случая рисовать соответствующие диаграммы знаков дроби. Поэтому удобнее и нагляднее использовать метод интервалов для координатной плоскости.

В плоскости аОх построим прямые х = -3, х = 1 (сплошные линии) и х = а (пунктирная прямая). При пересечении этих прямых происходит изменение знака дроби

 

image77

 

Для любой точки А (с координатами а = 2, х = 0) определим знак такой дроби:  т. е. данное неравенство не выполняется. Теперь легко заштриховать множество точек (а; х), для которых неравенство выполнено.

Фиксируем значение а и строим семейство вертикальных прямых х = а (одна из них для -3 < а < 1 показана штрихпунктирной линией). Выписываем промежутки х, при которых прямая попадает в заштрихованные области. Теперь записываем ответ: при а ∈ (-∞;-3) х ∈ (-∞; a)U[-3; 1], при а =            -3 х ∈ (-∞; - 3)U(-3; 1], при a ∈ (-3; 1) х ∈ (-∞; -3]U(а; 1], при а = 1 х ∈ (-∞;-3], при а ∈ (1; +∞) х ∈ (-∞; -3]U[1; а).

 

IV. Задание на уроке

№ 327 (а); 328 (б); 329 (а); 332 (б); 334 (в, г); 335 (а, г); 336 (а, б); 337 (в, г); 338 (а, г).

 

V. Задание на дом

№ 327 (б); 328 (а); 329 (б, в); 333 (а); 334 (а, б); 335 (б, в); 36 (в, г); 337 (а, б); 338 (б, в).

 

VI. Творческие задания

Решите неравенство.

Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у, для которых выполнено неравенство.

При всех значениях параметра а решите неравенство.

Ответы:

 

VII. Подведение итогов урока

Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками Читать новость Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками фото. Поделитесь новостью Подъемный механизм для кухонных фасадов своими руками с друзьями!

Тоже читают:



Как сделать локоны на тяжёлые волосы

Поздравления с днём рождения от друга подруге в прозе

Рецепт итальянская лапша своими руками

Журнал мод 549 шали крючком смотреть схемы вязания

Поздравление подруге с днем рождения красивые до слез своими словами