Какие прически подходят для овального лица мужчинам

Какие прически подходят для овального лица мужчинам
Какие прически подходят для овального лица мужчинам
Какие прически подходят для овального лица мужчинам
Какие прически подходят для овального лица мужчинам
Какие прически подходят для овального лица мужчинам

Неравенства, решение неравенств


После того как получены начальные сведения о неравенствах с переменными, можно смело переходить к вопросу решения неравенств. Первыми на этом пути встают линейные неравенства с одной переменной. В этой статье мы подробно разберем, какой вид они имеют, какие методы существуют для решения линейных неравенств, дадим соответствующие алгоритмы и в деталях рассмотрим характерные примеры с решениями и пояснениями.

Сразу отметим, что здесь мы будем говорить лишь про линейные неравенства с одной переменной, а линейным неравенствам с двумя переменными выделим отдельную статью.


Что такое линейное неравенство?

Для начала естественно определиться с тем, что же такое линейное неравенство с одной переменной. Другими словами, нужно узнать, как линейные неравенства выглядят в общем виде, чтобы можно было их отличать от других видов неравенств.

При просмотре школьных учебников по алгебре выяснилось, что определения разнятся, хотя и не принципиально. Приведем варианты определений линейного неравенства.

В учебнике Мордковича А. Г. для 9 классов приводится такое определение:

Определение.

Линейным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида a·x+b>0, где вместо знака > естественно может быть любой другой знак неравенства (<, ≤, ≥), а a и b – действительные числа, причем a≠0.

В свою очередь в учебнике алгебры для 8 классов автора Макарычева Ю. Н. линейные неравенства определяются немного иначе:

Определение.

Неравенства вида a·x<c или a·x>c, где x – переменная, а a и c – некоторые числа, называются линейными неравенствами с одной переменной.

Здесь ничего не сказано о том, что коэффициент a при переменной x не может быть равен нулю, значит, допускается его равенство нулю, и неравенства вида 0·x>c и 0·x<c автор называет линейными. В этом определении также не упомянуты знаки нестрогих неравенств; с нашей точки зрения ничего ни мешает и неравенства a·x≤c, a·x≥c считать линейными.

Итак, главное различие между двумя этими определениями состоит в двух моментах:

  • в форме записи (a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором);
  • и в допустимости равенства коэффициента a нулю (a≠0 - в первом, и a может быть равно нулю - во втором).

Первый момент не существенен в том плане, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c являются равносильными неравенствами, так как могут быть получены одно из другого переносом слагаемого из одной части в другую с противоположным знаком. Однако отдадим предпочтение первой записи, как мы это сделали и в разговоре о линейных уравнениях. Что же касается коэффициента при переменной, то на практике можно столкнуться, например, с неравенством 0·x+5>0, и так или иначе его придется решать, так что не будем отбрасывать случаи a=0.

Подведем итог нашим рассуждениям: чтобы у нас в дальнейшем не возникало разногласий, давайте условимся считать линейными неравенствами в одной переменной x неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b могут быть любыми действительными числами. Понятно, что переменная может быть обозначена не только буквой x, но и любой другой буквой.

Согласно нашей договоренности, неравенства 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, - это примеры линейных неравенств. А вот неравенства 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 и т.п. мы будем называть неравенствами, сводящимися к линейным. Здесь же отметим, что масса других неравенств могут сводиться к линейным неравенствам, о них мы еще скажем в последнем пункте этой статьи.

К началу страницы

Как решить линейное неравенство?


Теперь можно разбираться, как решаются линейные неравенства a·x+b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих прийти при a≠0 к элементарным неравенствам вида x<p (≤, >, ≥), p - некоторое число, которые и являются искомым решением, а при a=0 – к числовым неравенствам вида a<p (≤, >, ≥), из которых делается вывод о решении исходного неравенства. Его мы и разберем в первую очередь.

Также не помешает взглянуть на решение линейных неравенств с одной переменной и с других позиций. Поэтому, мы еще покажем, как можно решить линейное неравенство графически и методом интервалов.

Используя равносильные преобразования

Пусть нам нужно решить линейное неравенство a·x+b<0 (≤, >, ≥). Покажем, как это сделать, используя равносильные преобразования неравенства.

Подходы при этом различаются в зависимости от равенства или неравенства нулю коэффициента a при переменной x. Рассмотрим их по очереди. Причем при рассмотрении будем придерживаться схемы из трех пунктов: сначала будем давать суть процесса, дальше – алгоритм решения линейного неравенства, наконец, приводить решения характерных примеров.

Начнем с алгоритма решения линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0.

  • Во-первых, число b переносится в правую часть неравенства с противоположным знаком. Это позволяет перейти к равносильному неравенству a·x<−b (≤, >, ≥).
  • Во-вторых, проводится деление обеих частей полученного неравенства на отличное от нуля число a. При этом, если a – положительное число, то знак неравенства сохраняется, а если a - отрицательное число, то знак неравенства изменяется на противоположный. В результате получается элементарное неравенство, равносильное исходному линейному неравенству, оно и является ответом.

Остается разобраться с применением озвученного алгоритма на примерах. Рассмотрим, как с его помощью решаются линейные неравенства при a≠0.

Пример.

Решите неравенство 3·x+12≤0.

Решение.

Для данного линейного неравенства имеем a=3 и b=12. Очевидно, коэффициент a при переменной x отличен от нуля. Воспользуемся соответствующим алгоритмом решения, приведенным выше.

Во-первых, переносим слагаемое 12 в правую часть неравенства, не забывая изменить его знак, то есть, в правой части окажется −12. В результате приходим к равносильному неравенству 3·x≤−12.

И, во-вторых, делим обе части полученного неравенства на 3, так как 3 – число положительное, то знак неравенства не изменяем. Имеем (3·x):3≤(−12):3, что то же самое x≤−4.

Полученное элементарное неравенство x≤−4 равносильно исходному линейному неравенству и является его искомым решением.

Итак, решением линейного неравенства 3·x+12≤0 является любое действительное число, меньшее или равное минус четырем. Ответ можно записать и в виде числового промежутка, отвечающего неравенству x≤−4, то есть, как (−∞, −4].

Приобретя сноровку в работе с линейными неравенствами, их решения можно будет записывать кратко без пояснений. При этом сначала записывают исходное линейное неравенство, а ниже – равносильные ему неравенства, получающиеся на каждом шаге решения:
3·x+12≤0;
3·x≤−12;
x≤−4.

Ответ:

x≤−4 или (−∞, −4].

Пример.

Укажите все решения линейного неравенства −2,7·z>0.

Решение.

Здесь коэффициент a при переменной z равен −2,7. А коэффициент b отсутствует в явном виде, то есть, он равен нулю. Поэтому, первый шаг алгоритма решения линейного неравенства с одной переменной выполнять не нужно, так как перенос нуля из левой части в правую не изменит вид исходного неравенства.

Остается разделить обе части неравенства на −2,7, не забыв изменить знак неравенства на противоположный, так как −2,7 – отрицательное число. Имеем (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

А теперь кратко:
−2,7·z>0;
z<0.

Ответ:

z<0 или (−∞, 0).

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам нужно решить линейное неравенство с коэффициентом a при переменной x, равным −5, и с коэффициентом b, которому отвечает дробь −15/22. Действуем по известной схеме: сначала переносим −15/22 в правую часть с противоположным знаком, после чего выполняем деление обеих частей неравенства на отрицательное число −5, изменяя при этом знак неравенства:

В последнем переходе в правой части используется правило деления чисел с разными знаками , затем выполняется деление обыкновенной дроби на натуральное число .

Ответ:

или .

Теперь переходим к случаю, когда a=0. Принцип решения линейного неравенства a·x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0, то есть, неравенства 0·x+b<0, заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

На чем это основано? Очень просто: на определении решения неравенства. Каким образом? Да вот каким: какое бы значение переменной x мы не подставили в исходное линейное неравенство, мы получим числовое неравенство вида b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0, откуда b<0). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Сформулируем приведенные рассуждения в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

  • Рассматриваем числовое неравенство b<0 (≤, >, ≥) и
    • если оно верное, то решением исходного неравенства является любое число;
    • если же оно неверное, то исходное линейное неравенство не имеет решений.

А теперь разберемся с этим на примерах.

Пример.

Решите неравенство 0·x+7>0.

Решение.

Для любого значения переменной x линейное неравенство 0·x+7>0 обратится в числовое неравенство 7>0. Последнее неравенство верное, следовательно, любое число является решением исходного неравенства.

Ответ:

решением является любое число или (−∞, +∞).

Пример.

Имеет ли решения линейное неравенство 0·x−12,7≥0.

Решение.

Если подставить вместо переменной x любое число, то исходное неравенство обратиться в числовое неравенство −12,7≥0, которое неверное. А это значит, что ни одно число не является решением линейного неравенства 0·x−12,7≥0.

Ответ:

нет, не имеет.

В заключение этого пункта разберем решения двух линейных неравенств, оба коэффициента которых равны нулю.

Пример.

Какое из линейных неравенств 0·x+0>0 и 0·x+0≥0 не имеет решений, а какое – имеет бесконечно много решений?

Решение.

Если вместо переменной x подставить любое число, то первое неравенство примет вид 0>0, а второе – 0≥0. Первое из них неверное, а второе – верное. Следовательно, линейное неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений, а именно, его решением является любое число.

Ответ:

неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений.

К началу страницы

Методом интервалов

Вообще, метод интервалов изучается в школьном курсе алгебры позже, чем проходится тема решение линейных неравенств с одной переменной. Но метод интервалов позволяет решать самые разные неравенства, в том числе и линейные. Поэтому, остановимся на нем.

Сразу заметим, что метод интервалов целесообразно применять для решения линейных неравенств с отличным от нуля коэффициентом при переменной x. В противном случае вывод о решении неравенства быстрее и удобнее сделать способом, разобранным в конце предыдущего пункта.

Метод интервалов подразумевает

  • введение функции, отвечающей левой части неравенства, в нашем случае – линейной функции y=a·x+b,
  • нахождение ее нулей, которые разбивают область определения на промежутки,
  • определение знаков, которые имеют значения функции на этих промежутках, на основе которых делается вывод о решении линейного неравенства.

Соберем эти моменты в алгоритм, раскрывающий как решать линейные неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 методом интервалов:

  • Находятся нули функции y=a·x+b, для чего решается линейное уравнение a·x+b=0. Как известно, при a≠0 оно имеет единственный корень, который обозначим x0.
  • Строится координатная прямая, и на ней изображается точка с координатой x0. Причем, если решается строгое неравенство (со знаком < или >), то эту точку делают выколотой (с пустым центром), а если нестрогое (со знаком ≤ или ≥), то ставят обычную точку. Эта точка разбивает координатную прямую на два промежутка (−∞, x0) и (x0, +∞).
  • Определяются знаки функции y=a·x+b на этих промежутках. Для этого вычисляется значение этой функции в любой точке промежутка (−∞, x0), и знак этого значения и будет искомым знаком на промежутке (−∞, x0). Аналогично, знак на промежутке (x0, +∞) совпадает со знаком значения функции y=a·x+b в любой точке этого промежутка. Но можно обойтись без этих вычислений, а выводы о знаках сделать по значению коэффициента a: если a>0, то на промежутках (−∞, x0) и (x0, +∞) будут знаки − и + соответственно, а если a>0, то + и −.
  • Если решается неравенство со знаками > или ≥, то ставится штриховка над промежутком со знаком плюс, а если решаются неравенства со знаками < или ≤, то – со знаком минус. В результате получается геометрическое изображение числового множества, которое и является искомым решением линейного неравенства.

Рассмотрим пример решения линейного неравенства методом интервалов.

Пример.

Решите неравенство −3·x+12>0.

Решение.

Коль скоро мы разбираем метод интервалов, то им и воспользуемся. Согласно алгоритму, сначала находим корень уравнения −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Дальше изображаем координатную прямую и отмечаем на ней точку с координатой 4, причем эту точку делаем выколотой, так как решаем строгое неравенство:

Теперь определяем знаки на промежутках. Для определения знака на промежутке (−∞, 4) можно вычислить значение функции y=−3·x+12, например, при x=3. Имеем −3·3+12=3>0, значит, на этом промежутке знак +. Для определения знака на другом промежутке (4, +∞) можно вычислить значение функции y=−3·x+12, к примеру, в точке x=5. Имеем −3·5+12=−3<0, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x: так как он равен −3, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то изображаем штриховку над промежутком со знаком +, чертеж принимает вид

По полученному изображению делаем вывод, что искомым решением является (−∞, 4) или в другой записи x<4.

Ответ:

(−∞, 4) или x<4.

К началу страницы

Графическим способом

Полезно иметь представление о геометрической интерпретации решения линейных неравенств с одной переменной. Чтобы его получить, давайте рассмотрим четыре линейных неравенства с одной и той же левой частью: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0, их решениями являются соответственно x<2, x≤2, x>2 и x≥2, а также изобразим график линейной функции y=0,5·x−1.

Несложно заметить, что

  • решение неравенства 0,5·x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
  • решение неравенства 0,5·x−1≤0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 находится ниже оси Ox или совпадает с ней (другими словами, не выше оси абсцисс),
  • аналогично решение неравенства 0,5·x−1>0 есть промежуток, на котором график функции выше оси Ox (эта часть графика изображена красным цветом),
  • и решение неравенства 0,5·x−1≥0 является промежутком, на котором график функции выше или совпадает с осью абсцисс.

Графический способ решения неравенств, в частности линейных, и подразумевает нахождение промежутков, на которых график функции, соответствующей левой части неравенства, располагается выше, ниже, не ниже или не выше графика функции, соответствующей правой части неравенства. В нашем случае линейного неравенства функция, отвечающая левой части, есть y=a·x+b, а правой части – y=0, совпадающая с осью Ox.

Учитывая приведенную информацию, несложно сформулировать алгоритм решения линейных неравенств графическим способом:

  • Строится график функции y=a·x+b (можно схематически) и
    • при решении неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox,
    • при решении неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, на котором график ниже или совпадает с осью Ox,
    • при решении неравенства a·x+b>0 определяется промежуток, на котором график выше оси Ox,
    • при решении неравенства a·x+b≥0 определяется промежуток, на котором график выше или совпадает с осью Ox.

Пример.

Решите неравенство графически.

Решение.

Построим эскиз графика линейной функции . Это прямая, которая убывает, так как коэффициент при x – отрицательный. Еще нам понадобится координата точки его пересечения с осью абсцисс, она является корнем уравнения , который равен . Для наших нужд можно даже не изображать ось Oy. Так наш схематический чертеж будет иметь такой вид

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересует промежуток, на котором график функции выше оси Ox. Для наглядности выделим эту часть графика красным цветом, а чтобы легко определить соответствующий этой части промежуток, подсветим красным цветом часть координатной плоскости, в которой расположена выделенная часть графика, так, как на рисунке ниже:

Интересующий нас промежуток представляет собой часть оси Ox, оказавшуюся подсвеченной красным цветом. Очевидно, это открытый числовой луч . Это и есть искомое решение. Заметим, что если бы мы решали неравенство не со знаком >, а со знаком нестрогого неравенства ≥, то в ответ пришлось бы добавить , так как в этой точке график функции совпадает с осью Ox.

Ответ:

или в другой записи .

Графическим способом можно решать и линейные неравенства с коэффициентом a, равным нулю. В этом случае левой части будет отвечать функция вида y=0·x+b, она же y=b. А ее графиком является прямая, параллельная оси Ox, или же совпадающая с ней при b=0. В этих случаях линейные неравенства либо не имеют решений, либо их решением является любое действительное число.

Пример.

Какое из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 имеет хотя бы одно решение?

Решение.

Ответ на поставленный вопрос можно дать, представив, что представляют собой графики функций, отвечающие левым частям указанных линейных неравенств. y=0·x+7, что то же самое y=7, задает на координатной плоскости прямую, параллельную оси Ox и лежащую выше нее. Следовательно, неравенство 0·x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

А графиком функции y=0·x+0, что то же самое y=0, является прямая, совпадающая с осью Ox. Следовательно, решением неравенства 0·x+0≥0 является множество всех действительных чисел.

Ответ:

второе неравенство, его решением является любое действительное число.

К началу страницы

Неравенства, сводящиеся к линейным

Огромное количество неравенств с помощью равносильных преобразований можно заменить равносильным линейным неравенством, другими словами, свести к линейному неравенству. Такие неравенства называют неравенствами, сводящимися к линейным.

В школе почти одновременно с решением линейных неравенств рассматривают и несложные неравенства, сводящиеся к линейным. Они представляют собой частные случаи целых неравенств, а именно в их левой и правой части находятся целые выражения, которые представляют собой или линейные двучлены, или преобразуются к ним путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Для наглядности приведем несколько примеров таких неравенств: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Неравенства, которые подобны по виду указанным выше, всегда можно свести к линейным. Это можно сделать путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, перестановки слагаемых местами и переноса слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Например, чтобы свести неравенство 5−2·x>0 к линейному, достаточно переставить слагаемые в его левой части местами, имеем −2·x+5>0. Для сведения второго неравенства 7·(x−1)+3≤4·x−2+x к линейному нужно немного больше действий: в левой части раскрываем скобки 7·x−7+3≤4·x−2+x, после этого приводим подобные слагаемые в обеих частях 7·x−4≤5·x−2, дальше переносим слагаемые из правой части в левую 7·x−4−5·x+2≤0, наконец, приводим подобные слагаемые в левой части 2·x−2≤0. Подобным образом и третье неравенство можно свести к линейному неравенству.

Из-за того, что подобные неравенства всегда можно свести к линейным, некоторые авторы даже называют их тоже линейными. Но все же будем их считать сводящимися к линейным.

Теперь становится понятно, почему подобные неравенства рассматривают вместе с линейными неравенствами. Да и принцип их решения абсолютно такой же: выполняя равносильные преобразования, их можно привести к элементарным неравенствам, представляющим собой искомые решения.

Чтобы решить неравенство подобного вида можно его предварительно свести к линейному, после чего решить это линейное неравенство. Но рациональнее и удобнее поступать так:

  • после раскрытия скобок собрать все слагаемые с переменной в левой части неравенства, а все числа – в правой,
  • после чего привести подобные слагаемые,
  • а дальше – выполнить деление обеих частей полученного неравенства на коэффициент при x (если он, конечно, отличен от нуля). Это даст ответ.

Пример.

Решите неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение.

Сначала раскроем скобки, в результате придем к неравенству 5·x+15+x≤6·x−18+1. Теперь приведем подобные слагаемые: 6·x+15≤6·x−17. Дальше переносим слагаемые с левую часть, получаем 6·x+15−6·x+17≤0, и снова приводим подобные слагаемые (что приводит нас к линейному неравенству 0·x+32≤0) и имеем 32≤0. Так мы пришли к неверному числовому неравенству, откуда делаем вывод, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений.

В заключение отметим, что существует и масса других неравенств, сводящихся к линейным неравенствам, или к неравенствам рассмотренного выше вида. Например, решение показательного неравенства 52·x−1≥1 сводится к решению линейного неравенства 2·x−1≥0. Но об этом будем говорить, разбирая решения неравенств соответствующего вида.


Некогда разбираться?

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам Какие прически подходят для овального лица мужчинам

Тоже читают:



Что за код подарочные карты itunes и подарки itunes где его взять

Макияж с карими глазами и смуглой кожей

Как сделать touch id на ipad mini

Схема подключения сигнала на ваз 2104

Как сделать чтобы данные одной таблицы отображались в другой